Modern Diferansiyel Geometride doktora yapmak isteyen öğrenciler için temel kaynaklar


Öncelikle, Geometri'den kastettiğimiz, "metrik geometri"dir. Yani uzayda iki nokta arası uzunluk ölçen bir fonksiyon olmalıdır. (Bknz: [SS]) Uzunlukları hesaba katmadan uzayın şeklini inceleyen alana ise Topoloji denir. Geometri ve Topoloji çoğu zaman bir uzay içinde içiçe girmiş şekildedir. Uzayın topolojisini bilmeden yapılan metrik incelemeler yüzeysel kalmaya mahkumdur.
Modern Diferansiyel Geometride doktora yapmak için temel bilgiler:

1. Peter Petersen - Riemannian Geometry. 2nd Edition.
GTM, 171. Springer, New York, 2006.
Chapter 1-5 çalışılmalı. Bu kaynak zor olduğundan ilk etapta yardımcı olmak için:
1A. do Carmo - Riemannian geometry.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp.
çalışılabilir.
1B. Jeff Viaclovsky - Topics in Riemannian Geometry 2007 ders notları, modern notasyon ve içeriği barındırır. Yazarın 2010 notlarında da ekstra bilgiler vardır.
Alternatif kaynaklar olarak: Gallot, Hulin, Lafontaine - Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. ve Kühnel - Differential Geometry. Lee - Riemannian Manifolds-Curvature. Milnor - Morse Theory. de bazı konularda güçlü yönleri vardır.

2. Griffiths & Harris - Principles of algebraic geometry.
Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978. xiv+813 pp. ISBN: 0-471-05059-8

Chapters-01 de yüksek boyutlu kompakt manifold örneklerini inceleyebilmek için gereken temel kaynaktır.

Metrik geometri öğrenmeden önce diferansiyellenebilir manifoldlar bilgisi de geliştirilmelidir. Tam anlamıyla gelişim için:

0. Loring Tu. An introduction to manifolds. Second edition.
Universitext. Springer, New York, 2011. xviii+411 pp.
dengi bir eserden Chapter 1-6 hazmedilmesi gerekir.
(Diğer faydalı yan kaynaklar: Morita,Spivak-Comprehensive-1,Warner, Doolin B.F., Martin C.F.-For Engineers, Chris J. Isham-Modern Differential Geometry for Physicist)
Geometriciler için Topoloji:

İlk kısımda tarif ettiğimiz gibi, esaslı bir geometri çalışması yapabilmek için içinde bulunduğumuz uzayın topolojisini iyi bilmek gereklidir. Konuyu en basit ve en hızlı şekilde öğrenebilmek için kullanılabilecek eserlerden biri:

3. Sato, Hajime - Algebraic topology: an intuitive approach.
Translations of Mathematical Monographs, 183. AMS. 1999.


buradan Chapter 1-8 okunmalıdır.

Ülkemizde topoloji tabiri yanlışlıkla "Point Set Topoloji" için kullanılmaktadır. Buna aslında "Analizciler için topoloji" demek daha doğru olur. Topolojinin anlamı daha farklı ve daha geniştir. Asıl topoloji konuları eksik olarak da olsa: Cebirsel Topoloji, Diferansiyel Topoloji, Diferansiyellenebilir Manifoldlar, Sheaf Teorisi, Karakteristik Sınıflar vs... gibi terimlerle ifade edilmektedir.
Benim favori topoloji kitabım ise aşağıdakidir:

Algebraic Topology by John W. Morgan and P. J. Lamberson.

Geometri/Topoloji konularında bu tarz genel bilgiler edinmek için [Bl] kitabının son "Further Study" kısmı okunabilir.
Kompakt örneklerin önemi:

Diferansiyel Geometride kompakt olmayan uzaylar hemen hemen her türlü metriği ve şartı sağlarlar. O yüzden bunları örnek olarak vermenin hiçbir hükmü yoktur. Asıl olan kompakt örnek bulunup bulunamadığıdır. Geometriciler her karşılaştığı yeni uzayda ilk önce onun kompakt olup olmadığını sorarlar.
Kompleks Cebirsel Geometriden gelen Cebirsel Varyeteler kullanılarak üretilen örnekler en çarpıcı kompakt uzaylardır.
Geometrik Analiz
dalların birliği
Tüm bunlarla uğraşmak istemiyorsanız MATHGEN programını kullanarak dakikalar içinde kendi makalenizi üretebilirsiniz. Hatta SCI dergilerden şurada olduğu gibi kabul de alırsınız. Matematik artık programlar sayesinde kolaylaştı.

[Bl] Bloch, Ethan D. - A first course in geometric topology and differential geometry.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997. xiv+421 pp. ISBN: 0-8176-3840-7
[SS] Jeffrey Weeks - The shape of space


Back to main page