Modern Diferansiyel Geometri'de
doktora yapmak isteyen öğrenciler için
temel kaynaklar


Öncelikle, Geometri'den kastettiğimiz, "metrik geometri"dir. Yani uzayda iki nokta arası uzunluk ölçen bir fonksiyon olmalıdır. (Bknz: [SS]) Uzunlukları hesaba katmadan uzayın şeklini inceleyen alana ise Topoloji denir. Geometri ve Topoloji çoğu zaman bir uzay içinde içiçe girmiş şekildedir. Uzayın topolojisini bilmeden yapılan metrik incelemeler yüzeysel kalmaya mahkumdur.
Modern Diferansiyel Geometride doktora yapmak için temel bilgiler:

1. Peter Petersen - Riemannian Geometry. 2nd Edition.
GTM, 171. Springer, New York, 2006. Chapter 1-5 çalışılmalı. Bu kaynak zor olduğundan ilk etapta yardımcı olmak için:

1A. do Carmo - Riemannian geometry.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. çalışılabilir.

1B. Jeff Viaclovsky - Topics in Riemannian Geometry 2007 ders notları, modern notasyon ve içeriği barındırır. Yazarın 2010 notlarında da ekstra bilgiler vardır.
Alternatif kaynaklar olarak: Gallot, Hulin, Lafontaine - Riemannian geometry. Third edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 2004. ve Kühnel - Differential Geometry. Lee - Riemannian Manifolds-Curvature. Milnor - Morse Theory. de bazı konularda güçlü yönleri vardır.

2. Griffiths & Harris - Principles of algebraic geometry.
Wiley Classics Library. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1978. xiv+813 pp.
Chapters-01 de yüksek boyutlu kompakt manifold örneklerini inceleyebilmek için gereken temel kaynaktır.

Metrik geometri öğrenmeden önce diferansiyellenebilir manifoldlar bilgisi de geliştirilmelidir. Tam anlamıyla gelişim için:

0. Loring Tu. An introduction to manifolds. Second edition.
Universitext. Springer, New York, 2011. xviii+411 pp. dengi bir eserden Chapter 1-6 hazmedilmesi gerekir.

(Diğer faydalı yan kaynaklar: Morita,Spivak-Comprehensive-1,Warner, Doolin B.F., Martin C.F.-For Engineers, Chris J. Isham-Modern Differential Geometry for Physicist)
Geometriciler için Topoloji:

İlk kısımda tarif ettiğimiz gibi, esaslı bir geometri çalışması yapabilmek için içinde bulunduğumuz uzayın topolojisini iyi bilmek gereklidir. Konuyu en basit ve en hızlı şekilde öğrenebilmek için kullanılabilecek eserlerden biri:

3. Sato, Hajime - Algebraic topology: an intuitive approach.
Translations of Mathematical Monographs, 183. AMS. 1999.

buradan Chapter 1-8 okunmalıdır.

Ülkemizde topoloji tabiri yanlışlıkla "Point Set Topoloji" için kullanılmaktadır. Buna aslında "Analizciler için topoloji" demek daha doğru olur. Topolojinin anlamı daha farklı ve daha geniştir. Asıl topoloji konuları eksik olarak da olsa: Cebirsel Topoloji, Diferansiyel Topoloji, Diferansiyellenebilir Manifoldlar, Sheaf Teorisi, Karakteristik Sınıflar vs... gibi terimlerle ifade edilmektedir.
Benim favori topoloji kitabım ise aşağıdakidir:

Algebraic Topology by John W. Morgan and P. J. Lamberson.

Geometri/Topoloji konularında bu tarz genel bilgiler edinmek için [Bl] kitabının son "Further Study" kısmı okunabilir.
Lisans Düzeyinde Geometri

Lisans düzeyindeyken modern Geometride neler yapılıyor anlamak isterseniz,
öncelikle başlığında "Öklit, Pisagor" geçen herşeyden uzak durmanız tavsiye olunur.
Aşağıdaki listedeki kitapları karıştırın, mümkünse sonuna kadar okuyun.

A. [SS] Jeffrey R. Weeks - The Shape of Space.
CRC Press. 2001.

Lise eğitimi ve ingilizce sözlük, roman tadında yazılmış bu kitabı okumak için yeterli.
Anlaşılmayan cümleler olduğunda ileri sarın, genel olarak anlasanız zaten yeterli, mesajı almış olursunuz.
Wikipedia ile de bazı tanımlar desteklenebilir. Bunun dışında ciddi kaynaklar:

B. [Bl] Bloch, Ethan D. - A first course in geometric topology and differential geometry.
Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997.

ve en nihayetinde temel eser:

C. Kühnel, Wolfgang - Differential geometry. Curves—surfaces—manifolds.
Third edition. AMS, 2015. xii+402 pp.

kitabını çalışmak, lisans düzeyinde yeterli bir Geometri bilgisine kavuşmanızı sağlayacaktır.
Bu eser sizin Einstein Uzaylarını da tanımanızı sağlar.

Bunlara ek olarak tercihen belli bir topoloji bilgisi edinmek de yararlı olacaktır.
Bu maksatla:

D1. Diferansiyel Formlar: David Bachman - A Geometric Approach to Differential Forms
Spivak'ın klasik COM kitabının şirin olmakla beraber, vakit kaybı olduğunu düşünüyorum.
Onun doktora kitabının ilk cildinden (Ch-123478) çalışılabilir. En isabetlisi böyle olur.
Ama lisans düzeyinde bir eser için önerilerinizi beklerim.
(do Carmo - Differential Forms and Applications faydalı olabilir,
Loring Tu - Differential Geometry den de ilgili bölümlere bakılabilir.)

D2. Sato. Önceki bölümdeki 3 nolu esere bakınız.

Şunu bilin ki Öklit ve Pisagor devri enaz 3000 sene önceydi.
Devir 100 senedir Einstein devri.
Hatta Einstein devri de kapandı, Quantum devri başladı.
Hawking-Penrose ve Yau, Thurston, Gromov çağı başladı çoktan. Perelman ise onların ürünü.
Atiyah ve Donaldson ise İngiliz okulunu yönlendiren liderler, dallar arası geçişin ustalarıdır.
Buralara ulaşmak için Lisansta enazından yukardaki bilgileri edinin.
Kompakt örneklerin önemi:

Diferansiyel Geometride kompakt olmayan uzaylar hemen hemen her türlü metriği ve şartı sağlarlar. O yüzden bunları örnek olarak vermenin hiçbir hükmü yoktur. Asıl olan kompakt örnek bulunup bulunamadığıdır. Geometriciler her karşılaştığı yeni uzayda ilk önce onun kompakt olup olmadığını sorarlar.
Kompleks Cebirsel Geometriden gelen Cebirsel Varyeteler kullanılarak üretilen örnekler en çarpıcı kompakt uzaylardır.
Geometrik Analiz
dalların birliği
Tüm bunlarla uğraşmak istemiyorsanız MATHGEN programını kullanarak dakikalar içinde kendi makalenizi üretebilirsiniz. Hatta SCI dergilerden şurada olduğu gibi kabul de alırsınız. Matematik artık programlar sayesinde kolaylaştı.

Back to main page